Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов. Тригонометрические тождества и преобразования. Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций
С центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Определение
Синус (sin α)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
y = sin x | y = cos x | |
Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
Возрастание | ||
Убывание | ||
Максимумы, y = 1 | ||
Минимумы, y = -1 | ||
Нули, y = 0 | ||
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
;
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Основные формулы тригонометрии - это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Основные тождества тригонометрии
Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.
Тригонометрические тождества
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α
Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).
Формулы приведения
Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.
Формулы приведения
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.
Тригонометрические формулы сложения
Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.
Тригонометрические формулы сложения
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.
Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.
Формулы двойного и тройного углаsin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α - 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.
Формулы половинного угла
sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
Формулы понижения степени
Формулы понижения степениsin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:
Общий вид формул понижения степени
для четных n
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n · cos ((n - 2 k) α)
для нечетных n
sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k · C k n · sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n · cos ((n - 2 k) α)
Сумма и разность тригонометрических функций
Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.
Сумма и разность тригонометрических функций
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 · sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · sin β - α 2
Произведение тригонометрических функций
Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход - от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.
Формулы произведения тригонометрических функций
sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α · cos β = 1 2 · (sin (α - β) + sin (α + β))
Универсальная тригонометрическая подстановка
Все основные тригонометрические функции - синус, косинус, тангенс и котангенс, - могут быть выражены через тангенс половинного угла.
Универсальная тригонометрическая подстановка
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!
Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.
Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.
1. Уравнение `sin x=a`.
При `|a|>1` не имеет решений.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.
Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Уравнение `cos x=a`
При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.
Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.
3. Уравнение `tg x=a`
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Уравнение `ctg x=a`
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице
Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:
Методы решения тригонометрических уравнений
Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
- с помощью преобразовать его до простейшего;
- решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.
Рассмотрим на примерах основные методы решения.
Алгебраический метод.
В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.
Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,
находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Разложение на множители.
Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.
Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя , преобразуем и разложим на множители левую часть:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Приведение к однородному уравнению
Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:
`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).
Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.
Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.
Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:
`\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Переход к половинному углу
Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.
Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Применив описанный выше алгебраический метод, получим:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Введение вспомогательного угла
В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:
`\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.
Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Подробнее рассмотрим на следующем примере:
Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.
Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:
`\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.
Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.
Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:
`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`
`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`
`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`
`\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`
`\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`
Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!
Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.
На этой странице вы найдете все основные тригонометрические формулы, которые помогут вам решать многие упражнения, значительно упростив само выражение.
Тригонометрические формулы - математические равенства для тригонометрических функций, которые выполняются при всех допустимых значениях аргумента.
Формулами задаются соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом.
Синус угла – это координата y точки (ордината) на единичной окружности. Косинус угла – это координата x точки (абсцисса).
Тангенс и котангенс – это, соответственно, соотношения синуса к косинусу и наоборот.
`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha`
`tg \ \alpha=\frac{sin\ \alpha}{cos \ \alpha},` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac{cos\ \alpha}{sin\ \alpha},` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`
И две, которые используются реже – секанс, косеканс. Они обозначают соотношения 1 к косинусу и синусу.
`sec \ \alpha=\frac{1}{cos\ \alpha},` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac{1}{sin \ \alpha},` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`
Из определений тригонометрических функций видно, какие знаки они имеют в каждой четверти. Знак функции зависит только от того, в какой из четвертей располагается аргумент.
При изменении знака аргумента с «+» на «-» только функция косинус не меняет своего значения. Она называется четной. Ее график симметричен относительно оси ординат.
Остальные функции (синус, тангенс, котангенс) нечетные. При смене знака аргумента с «+» на «-» их значение также изменяется на отрицательное. Их графики симметричны относительно начала координат.
`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`
Основные тригонометрические тождества
Основные тригонометрические тождества – это формулы, устанавливающие связь между тригонометрическими функциями одного угла (`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \alpha`) и которые позволяют находить значение каждой из этих функций через любую известную другую.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac{\pi n} 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1{cos^2 \alpha}=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1{sin^2 \alpha}=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`
Формулы суммы и разности углов тригонометрических функций
Формулы сложения и вычитания аргументов выражают тригонометрические функции суммы или разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac{tg \ \alpha+tg \ \beta}{1-tg \ \alpha\ tg \ \beta}`
`tg(\alpha-\beta)=\frac{tg \ \alpha-tg \ \beta}{1+tg \ \alpha \ tg \ \beta}`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac{ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1}{ctg \ \beta+ctg \ \alpha}`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac{ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1}{ctg \ \beta-ctg \ \alpha}`
Формулы двойного угла
`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac {2 \ tg \ \alpha}{1+tg^2 \alpha}=\frac {2 \ ctg \ \alpha}{1+ctg^2 \alpha}=` `\frac 2{tg \ \alpha+ctg \ \alpha}`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac{1-tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}=\frac{ctg^2\alpha-1}{ctg^2\alpha+1}=` `\frac{ctg \ \alpha-tg \ \alpha}{ctg \ \alpha+tg \ \alpha}`
`tg \ 2\alpha=\frac{2 \ tg \ \alpha}{1-tg^2 \alpha}=` `\frac{2 \ ctg \ \alpha}{ctg^2 \alpha-1}=` `\frac 2{ \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}`
`ctg \ 2\alpha=\frac{ctg^2 \alpha-1}{2 \ ctg \ \alpha}=` `\frac { \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}2`
Формулы тройного угла
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac{3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha}{1-3 \ tg^2 \alpha}`
`ctg \ 3\alpha=\frac{ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha}{3 \ ctg^2 \alpha-1}`
Формулы половинного угла
`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1+cos \ \alpha}=\frac {1-cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1-cos \ \alpha}=\frac {1+cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`
Формулы половинных, двойных и тройных аргументов выражают функции `sin, \ cos, \ tg, \ ctg` этих аргументов (`\frac{\alpha}2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) через эти ж функции аргумента `\alpha`.
Вывод их можно получить из предыдущей группы (сложения и вычитания аргументов). Например, тождества двойного угла легко получить, заменив `\beta` на `\alpha`.
Формулы понижения степени
Формулы квадратов (кубов и т. д.) тригонометрических функций позволяют перейти от 2,3,… степени к тригонометрическим функциям первой степени, но кратных углов (`\alpha, \ 3\alpha, \ …` или `2\alpha, \ 4\alpha, \ …`).
`sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac{1-cos \ \alpha}2)`
`cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac{1+cos \ \alpha}2)`
`sin^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}4`
`cos^3 \alpha=\frac{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}4`
`sin^4 \alpha=\frac{3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`
`cos^4 \alpha=\frac{3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Формулы являют собой преобразования суммы и разности тригонометрических функций разных аргументов в произведение.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ cos \frac{\alpha-\beta}2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\alpha-\beta}2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac{\alpha+\beta}2 \ cos \frac{\alpha-\beta}2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\alpha-\beta}2=` `2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\beta-\alpha}2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac{sin(\alpha \pm \beta)}{cos \ \alpha \ cos \ \beta}`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac{sin(\beta \pm \alpha)}{sin \ \alpha \ sin \ \beta}`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac{cos(\alpha \mp \beta)}{cos \ \alpha \ sin \ \beta}`
Здесь происходит преобразование сложения и вычитаний функций одного аргумента в произведение.
`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt{2} \ cos (\frac{\pi}4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt{2} \ sin (\frac{\pi}4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \ cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ ctg \2\alpha`
Следующие формулы преобразовывают сумму и разность единицы и тригонометрической функции в произведение.
`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac{\alpha}2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac{\alpha}2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac {\pi} 4-\frac{\alpha}2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac {\pi} 4-\frac{\alpha}2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac{sin(\frac{\pi}4 \pm \alpha)}{cos \frac{\pi}4 \ cos \ \alpha}=` `\frac{\sqrt{2} sin(\frac{\pi}4 \pm \alpha)}{cos \ \alpha}`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac{cos(\alpha \mp \beta)}{cos \ \alpha \ cos \ \beta};` ` \ ctg \ \alpha \ ctg \ \beta \pm 1=\frac{cos(\alpha \mp \beta)}{sin \ \alpha \ sin \ \beta}`
Формулы преобразования произведений функций
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций с аргументами `\alpha` и `\beta` в сумму (разность) этих аргументов.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{2}`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{2}`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{2}`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)} =` `\frac{tg \ \alpha + tg \ \beta}{ctg \ \alpha + ctg \ \beta}`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)} =` `\frac{ctg \ \alpha + ctg \ \beta}{tg \ \alpha + tg \ \beta}`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha — \beta)}`
Универсальная тригонометрическая подстановка
Эти формулы выражают тригонометрические функции через тангенс половинного угла.
`sin \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha\ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac{1 — tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 — tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi +2\pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac{1 — tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{2tg\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`
Формулы приведения
Формулы приведения можно получить, используя такие свойства тригонометрических функций, как периодичность, симметричность, свойство сдвига на данный угол. Они позволяют функции произвольного угла преобразовать в функции, угол которых находится в пределе между 0 и 90 градусами.
Для угла (`\frac {\pi}2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac {\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Для угла (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi — \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Для угла (`\frac {3\pi}2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac {3\pi}2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Для угла (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Выражение одних тригонометрических функций через другие
`sin \ \alpha=\pm \sqrt{1-cos^2 \alpha}=` `\frac{tg \ \alpha}{\pm \sqrt{1+tg^2 \alpha}}=\frac 1{\pm \sqrt{1+ctg^2 \alpha}}`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt{1-sin^2 \alpha}=` `\frac 1{\pm \sqrt{1+tg^2 \alpha}}=\frac {ctg \ \alpha}{\pm \sqrt{1+ctg^2 \alpha}}`
`tg \ \alpha=\frac {sin \ \alpha}{\pm \sqrt{1-sin^2 \alpha}}=` `\frac {\pm \sqrt{1-cos^2 \alpha}}{cos \ \alpha}=\frac 1{ctg \ \alpha}`
`ctg \ \alpha=\frac {\pm \sqrt{1-sin^2 \alpha}}{sin \ \alpha}=` `\frac {cos \ \alpha}{\pm \sqrt{1-cos^2 \alpha}}=\frac 1{tg \ \alpha}`
Тригонометрия в буквальном смысле переводится, как «измерение треугольников». Она начинает изучаться еще в школе, и продолжается более детально в ВУЗах. Поэтому основные формулы по тригонометрии нужны, начиная еще с 10 класса, а также для сдачи ЕГЭ. Они обозначают связи между функциями, а поскольку этих связей много, то и самых формул есть немало. Запомнить их все нелегко, да и не надо – при необходимости их все можно вывести.
Тригонометрические формулы применяются в интегральном исчислении, а также при тригонометрических упрощениях, вычислениях, преобразованиях.